热点专题丨集合与函数知识点汇总,准高一的同学快收藏!!

发布时间:2018-08-09 10:46

第一部分  集合与简易逻辑

1. 数集的符号表示:自然数集N ;正整数集N* ;整数集 Z;有理数集Q、实数集R

2. 是任何集合的子集,条件为时不要遗忘了的情况

3.对于含有个元素的有限集合子集数目:其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n , 2n -1, 2n -1, 2n -2  

4.理解集合的意义―抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)} 表示y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)} 表示y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)} 表示y=f(x)的图像

5. A是B的子集A∪B=BA∩B=A,


第二部分   函 数

17. 函数定义:函数是定义在两个非空数集A,B上的一种特殊对应关系,对于A中每一个数x,在B中都有唯一的数与之对应。函数图像与轴的垂线至多有一个公共点

18.相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

19.定义求法:使函数解析式有意义(如:分母;偶次根式被开方数非负;对数的真数,底数;零指数幂的底数);实际问题有意义;若定义域为,复合函数定义域由解出;若定义域为,则定义域相当于的值域.

20.求函数值域(最值)的方法

1)二次函数区间最值:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对关系),

2)换元法——通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(运用换元法时,要特别要注意新元的范围)

3)单调性法——利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,

4)导数法:一般适用于高次多项式函数或其他复杂函数,①求导②解导数为0的根③计算极值和区间端点函数值④比较大小,得出最值

21. 求函数解析式的常用方法

1)代换法:已知形如f(g(x))的表达式,求f(x)的表达式。可设g(x)=t,t表示x,再代回原式即可

2)转化法:若根据函数奇偶性求解析式,则设x∈所求区间,利用f(x) = f(x)f(x) = f(x)求解析式

3方程的思想——已知条件是含有及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于及另外一个函数的方程组。通过解方程组得到f(x)解析式。已知,求的解析式

22.函数的单调性

1)定义:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);

(2)常见函数的单调性:y=kx+b(看k正负) f(x)=ax2+bx+c(一看开口方向;二看对称轴)指对数函数(看底数a>1增;0<a<1减)幂函数yxα在第一象限内。如果α0,则幂函数的图象过原点,并且在[0,+∞)上为增函数.如果α<0,则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数,图象无限接近x轴与y轴.其他象限看奇偶性

3)复合函数单调性法则:特点是同增异减,

4)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域;二是在多个单调区间之间一定不能添加符号È”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用不等号表示.

5)注意函数单调性的逆用:若f(x1)<f(x2),则有x1<x2(增函数)x1>x2(减函数)

23.函数的奇偶性。

1)具有奇偶性的函数定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

⑵若f(x)是奇函数,那么f(x)=-f(-x);定义域含零的奇函数必过原点(f(0)=0);

3)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.

4)若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个(如y=0定义域关于原点对称即可).

 ⑸奇函数在对称的区间有相同的单调性;偶函数在对称的区间有相反的单调性;

24.函数的对称性:

①y=f(x)y=f(-x)的图像关于y轴对称; y=f(x)y=-f(x)的图像关于x轴对称;

②若f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

③若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=2(a+b)对称;

25.函数的周期性:f(T+x)=f(x),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期。

⑴若y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a)恒成立,f(x)的周期为2|a|;

⑵若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则y=f(x)的周期为2|a|;

⑶若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则y=f(x)的周期为4|a|;

⑷若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则y=f(x)的周期为2|a-b|;

⑸y=f(x)的图象关于直线x=a, x=b对称,则函数y=f(x)的周期为2|a-b|;

f(x+a)=-f(x)f(x+a)=- x(1),则y=f(x)的周期为2|a|;

26.指数式、对数式运算

loga10logaa1;logex=lnxblogaNÛabNalogaNN

 logaMnnlogaM ; loga(MN)logaMlogaN  ;  loga((M\n)logaMlogaN.

27. 指数、对数值的大小比较:(1)化同底后利用函数的单调性;(2)利用中间量(0或1);(3)化同指数(或同真数)后利用图象比较。

28.指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)

名称

指数函数y=ax (a>0且a≠1)

对数函数y=logax (a>0 , a≠1)

定义域

(-∞,+ ∞)

(0,+ ∞)

值域

(0,+ ∞)

(-∞,+ ∞)

过定点

(0,1)

(1,0)

图象

指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称



单调性

a1,在(-∞,+ ∞)为增函数

0a1, 在(-∞,+ ∞)为减函数

a>1,在(0,+ ∞)为增函数

0<a<1, 在(0,+ ∞)为减函数

底数与图像位置关系:在第一象限 指数函数是“底大图高”

对数函数是“底大图低”

29 幂函数

幂函数的定义:一般地,函数yxα叫做幂函数,其中x为自变量,α是常数

yxα在第一象限的图象,可分为如图中的三类:(在其他象限的图像要根据函数的定义域和奇偶性作图)

幂函数yxα的性质.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)

(2)α0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升)

特别地,当α1时,x∈(0,1)yxα的图象都在yx图象的下方,形状向下α越大,下的程度越大.

0α1时,x∈(0,1)yxα的图象都在yx的图象上方,形状向上凸,α越小,上凸的程度越大.

(3)α0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.

30.函数的零点.

(1)零点概念:对于函数y=f(x),把使f(x) =0成立的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

(2)函数零点的意义:函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根,亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标。

(3)判断函数F(x)的零点个数,一般将F(x)=0拆成f(x) = g(x),通过看两个函数y=f(x) 和y=g(x)的图像交点个数判定

(4)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断,且满足f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间函数值异号的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法

31. 常见的图象变换

⑴平移变换:“左加右减”(注意是针对而言); “上加下减”(注意是针对f(x)而言).

⑵翻折变换:


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